Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel merupakan masalah penting dalam kehidupan sehari-hari kita. Bayangkan kita membeli 5 karung beras dan 7 karung singkong dengan harga Rp. 560.000,00 di sebuah toko. Kemudian pada tahun berikutnya, kita membeli 3 karung singkong dan 1 karung beras dengan harga Rp. 180.000,00. Maka pertanyaan yang sering kita munculkan, berapa harga 1 karung beras, berapa harga satu karung singkong?

Maka cara pertama untuk menentukan harga satu karung singkon maupun beras, adalah dengan membuat model persamaan linear dua variabel. Perlu diingat bahwa persamaan linear dua variabel selalu konstan (tetap). Berikut adalah bentuk persamaan linear 2 variabel:

ax dan by merupakan koefisien, x dan y merupakan variabel dan c merupakan konstanta. Jika pernyataan di atas dibuatkan model persamaan linearnya maka akan terbentuk 2 formula (persamaan):
1) 5x + 7y = 560.000
2) x + 3y = 180.000
x merupakan karung beras dan y merupakan karung singkong.

Sekarang yang kita pertanyakan berapa nilai x dan berapa nilai y? Kita dapat menemukan nilai 2 variabel tersebut melalui 4 metode, metode grafik, subtitusi, eliminasi, campuran. Dengan keempat metode tersebut maka kita akan mengetahui bahwa untuk mencari nilai x dan nilai y adalah dengan cara "mensatu variabelkan". 

Ada sebuah restauran yang memiliki area parkir yang amat luas. Di sana terdapat 80 kendaraan dari mobil dan motor, dan seorang pengamat pun menghitung bahwa jumlah roda seluruh kendaraan banyaknya adalah 200 roda.

Maka dari soal tersebut, kita akan mengetahui bahwa model persamaan linear soal tersebut adalah:
1) x + y = 80
2) 2x + 4y = 200
x adalah motor dan y merupakan mobil sehingga 2x adalah dua roda yang terdapat pada motor dan 4y adalah 4 roda yang terdapat pada mobil. Untuk mencari berapa x dan y, maka kita akan menggunakan 4 metode tersebut.

1. METODE GRAFIK

Dalam metode grafik diperlukan suatu tabel penting sebagai panduan untuk mencari nilai x dan y pada soal tentang mobil. Tabel itu berbentuk sebagai berikut.

Karena kita sudah mengetahui tabel tersebu, maka dalam koordinat kratesius akan tampak nilai x dan y. Nilai x dan y terdapat pada titik perpotongan dari garis yang dibuat oleh 2 persamaan di atas. Bila 2 garis yang terbentuk oleh dua persamaan sejajar maka SPLDV itu dikatakan tidak dapat diselesaikan.

 

Setelah kita mengetahui 4 koordinat yang dihasilkan dari 2 persamaan, maka kita buat titik sesuai koordinat itu kemudian tarik garis hingga gambarnya adalah sebagai berikut.

Maka disana kita mengetahui bahwa titik dimana garis berpotongan adalah di koordinat (60,20) karena (x,y) maka x adalah 60 dan y adalah 20.

2. METODE ELIMINASI

Metode eliminasi adalah metode yang sangat mudah untuk memecahkan masalah SPLDV. Cara menggunakan metode eliminasi adalah menghilangkan salah satu variabel melalui operasi pengurangan ataupun penambahan, tujuannya sama yakni "mensatukan variabel". Baiklah kita akan membahas soal yang berbeda. 

Diketahui seorang Ibu membeli 2 kg wortel dan 4 kg kentang dengan harga Rp. 50.000,00. Keesokan harinya Ibu itu membeli 4 kg wortel dan 12 kg kentang dengan harga 120.000. Berapakah harga 1 kg kentang dan 1 kg wortel. 

Maka akan terbentuk suatu persamaan:

1) 4x + 12y = 120.000

2) 2x + 4y = 50.000

Jika x merupakan kg wortel dan y kg kentang.

Jika kita ingin menggunakan metode eliminasi, karena dihilangkan, maka salah satu koefisien dari suatu persamaan harus sama dengan koefisien persamaan yang lain. Caranya adalah mengkalikan persamaan yang satu itu dengan salah satu bilangan asli supaya hasil koefisien satu sama dengan koefisien persamaan yang lain. Jika kita ingin menghilangkan x maka,

Karena y = 5.000, artinya harga 1 kg kentang adalah Rp. 5.000,00. 

Jika y ingin kita hilangkan maka,

Jika x sama dengan 15.000 maka harga 1 kg wortel sama dengan Rp. 15.000,00.

3. METODE SUBTITUSI

Metode ini adalah adalah penyelesaian SPLDV dengan cara mensubtitusikan 2 variabel, baik x maupun y. Variabel x bisa saja sama dengan y atau a + y, jika a adalah bilangan riil atau bilangan bulat, y bisa saja positif maupun negatif. Begitu juga variabel y. 

Ayah dan ibu bekerja di luar negeri. Jumlah gaji ayah dan ibu adalah USD 220.000 per bulan. Jika gaji ibu lebih besar daripada ayah, maka selisih gaji ayah dan ibu adalah USD 80.000. Maka berapa gaji ibu dan gaji ayah per bulannya?

Persamaaanya adalah,

1) x + y = 220.000

2) y - x = 80.000

Jika x adalah gaji ayah dan y adalah gaji ibu.

Bila kita selesaikan SPLDV ini secara subtitusi maka akan kita peroleh,

Maka gaji ayah perbulan adalah USD 70.000 dan gaji ibu perbulan adalah USD 150.000

4. METODE CAMPURAN

Metode campuran adalah menyelesaikan SPLDV dengan menggunakan dua metode, yakni metode eliminasi dan subtitusi, kalau grafik tidak bisa dimasukan ke dalam metode campuran. Biasanya dalam metode ini, seseorang menyelesaikan dengan cara eliminasi kemudian subtitusi. Contoh soal:

Seorang peternak membeli 4 ayam seharga dan 5 bebek seharga Rp. 530.000,00 di pasar hewan. Kemudian bulan berikutnya peternak itu membeli lagi di pasar hewan yang sama, 3 bebek dan 2 ayam seharga Rp. 300.000,00. Berapakah harga satu ayam dan satu bebek?

Persamaan yang terbentuk adalah,

1) 4x + 5y = 530.000

2) 2x + 3y = 300.000 

Jika x adalah ayam dan y adalah bebek. Maka dengan metode campuran akan kita peroleh,

Harga ayam sama dengan Rp. 45.000,00 dan harga bebek sama dengan Rp. 70.000,00.